Borges y la matemática

“Borges y la matemática” es el título de un libro de Guillermo Martínez que intenta vincular algunos elementos de matemática con elementos de estilo en Borges. Antes de comentarles algunas consideraciones del libro de Martínez, les cuento que Borges, a mi criterio, es un autor para ser leído pero también sobre el que se ha escrito mucho. Vale también la pena explorar lo que muchos autores investigaron sobre su obra.

Martínez empieza por analizar el concepto de infinito, uno de los conceptos matemáticos que fascinaba a BOrges. Y dice sobre el símbolo del Aleph; “Un brazo que señala al cielo y el otro que señala a la tierra. El símbolo de los números transfinitos, en los que, como dice Borges, el todo no es mayor que alguna de las partes. …Esta última frase significa el quiebre de un postulado aristotélico según el cual el todo debe ser mayor que cualquiera de las partes.

En este punto, les propongo pensar la idea de infinito. ¡Pero no se vayan, no es difícil!. Al menos yo no soy matemática y lo entendí. Veamos si puedo transmitirlo correctamente.  Hasta 1870, época en la que Cantor comienza a trabajar con su teoría de conjuntos, los matemáticos usaban como símbolo del infinito un 8 invertido. Pensaban que había un único infinito, no se planteaban la posibilidad de que hubiera variedades de infinito. Pero Cantor llega a una nueva idea de infinito, que es la que suscita la paradoja mencionada anteriormente sobre el Aleph.

Supónganse que tenemos dos conjuntos, uno con personas y otro con sillas. 10 personas en el primer conjunto, 10 sillas en el otro.  Cantor dice que en el contexto finito, “los conjuntos A y B tienen la misma cantidad de elementos si y solo si puedo establecer una correspondencia perfecta uno a otro entre ellos”. O sea, puedo sacar una flecha de cada persona del conjunto A y llevarla a cada silla el conjunto B.

¿Pero qué ocurre cuando saltamos al ámbito de lo infinito? Dice Martínez, “Uno de los dos conceptos equivalentes deja de tener sentido. Qué significa hablar de “cantidad de elementos" de un conjunto infinito cuando uno no puede terminar de contar? Esta parte ya no la puedo usar, pero sí puedo usar todavía la segunda parte. La segunda parte sobrevive, todavía podemos establecer, para conjuntos infinitos, correspondencias perfectas uno a uno como hicimos entre las personas y las sillas”.

Y entonces surgen los problemas. Pensemos en dos conjuntos. El conjunto A tiene los números naturales, aquellos que usamos para contar, 1,2 3, 4…. Es un conjunto con un número infinito de elementos. Pensemos en otro conjunto, el B, donde pongamos los números pares. Sabemos que los números pares los podemos formar multiplicando por 2 los números naturales. Con el 1 formamos el 2, con el 2 formamos el 4, con el 3 el 6 y así sucesivamente. Pero entonces nos encontraríamos que habría tantos números naturales como números pares. Sin embargo, los números pares son una “mitad” de los naturales.

Este es el nudo de la aparente paradoja, una parte de los números naturales, los números pares, es tan grande como el todo. Hay una parte que equivale al todo. Y dice Martínez, “Este es el tipo de paradoja que maravillaba a Borges; en el infinito matemático, el todo no es necesariamente mayor que cualquiera de las partes. Hay partes propias que son tan grandes como el todo. Hay partes que son equivalentes al todo.”

En el cuento de Borges EL Aleph, en El libro de Arena o La biblioteca de Babel se tocan estos temas. Relatos maravillosos, que ahora que contamos estos pequeñísimos conocimientos de matemáticas, quizá podamos volver a leer y entender mejor.

Hay otros elementos matemáticos en la obra de Borges. Pero prefiero quedarme con el infinito y tratar de pensar junto a ustedes, otras paradojas que suscitan este tipo de conjuntos con más elementos de los que jamás podríamos llegar a contar.

Natalia Peroni